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一、解答题
1．如图，抛物线
x轴交于点
，与
y轴交于点
C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点
Q，使
的周长最小，求点
Q的坐标；
(3)点
P是抛物线对称轴上的一点，点
M是对称轴左侧抛物线上的一点，当
是以
为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点
M的坐标．
【答案】(1)
(2)（1，-2）
(3)（-1，0）或（
，-2）或（
，2）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点
C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点
C关于直线
的对称点
E，连接
AE，
EQ，则点
E的坐标为（2，-3），根据轴对称最短路径可知
AE与抛物线对称轴的交点即为点
Q；
（3）分两种情况当∠
BPM=90°和当∠
PBM=90°两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线
x轴交于点
∴抛物线解析式为
（2）解：∵抛物线解析式为
，与
y轴交于点
C，
∴抛物线对称轴为直线
C的坐标为（0，-3）
如图所示，作点
C关于直线
的对称点
E，连接
AE，
EQ，则点
E的坐标为（2，-3），
由轴对称的性质可知
CQ=
EQ，
∴△
ACQ的周长=
AC+
AQ+
CQ，
要使△
ACQ的周长最小，则
AQ+
CQ最小，即
AQ+
QE最小，
∴当
A、
Q、
E三点共线时，
AQ+
QE最小，
设直线
AE的解析式为
∴直线
AE的解析式为
时，
∴点
Q的坐标为（1，-2）；
（3）解： 如图1所示，当点
P在
x轴上方，∠
BPM=90°时，过点
P作
轴，过点
M作
MF⊥
EF于
F，过点
B作
BE⊥
EF于
E，
∵△
PBM是以
PB为腰的等腰直角三角形，
PA=
PB，∠
MFP=∠
PEB=∠
BPM=90°，
∴∠
FMP+∠
FPM=∠
FPM+∠
EPB=90°，
∴∠
FMP=∠
EPB，
∴△
FMP≌△
EPB（
AAS），
PE=
MF，
BE=
PF，
设点
P的坐标为（1，
m），
∴点
M的坐标为（1-
m，
m-2），
∵点
M在抛物线
上，
解得
（舍去），
∴点
M的坐标为（-1，0）；
同理当当点
P在
x轴下方，∠
BPM=90°时可以求得点
M的坐标为（-1，0）；
如图2所示，当点
P在
x轴上方，∠
PBM=90°时，过点
B作
轴，过点
P作
PE⊥
EF于
E，过点
M作
MF⊥
EF于
F，设点
P的坐标为（1，
m），
同理可证△
PEB≌△
BFM（
AAS），
∴点
M的坐标为（3-
m，-2），
∵点
M在抛物线
上，
解得
（舍去），
∴点
M的坐标为（
，-2）；
如图3所示，当点
P在
x轴下方，∠
PBM=90°时，
同理可以求得点
M的坐标为（
，2）；
综上所述，当△
PMB是以
PB为腰的等腰直角三角形时，点
M的坐标为（-1，0）或（
，-2）或（
，2）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线
x轴分别交于点
A(1，0)和点
B，与
y轴交于点
C(0，﹣3)，连接
BC．
(1)求抛物线的解析式及点
B的坐标．
(2)如图，点
P为线段
BC上的一个动点（点
P不与点
B，
C重合），过点
P作
y轴的平行线交抛物线于点
Q，求线段
PQ长度的最大值．
(3)动点
P以每秒
个单位长度的速度在线段
BC上由点
C向点
B运动，同时动点
M以每秒1个单位长度的速度在线段
BO上由点
B向点
O运动，在平面内是否存在点
N，使得以点
P，
M，
B，
N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点
N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
，（-3，0）
(2)
(3)
或（-2，1）或
【分析】（1）将
A，
C两点坐标代入抛物线的解析式求得
a，
c的值，进而得出解析式，当
y=0时，求出方程的解，进而求得
B点坐标；
（2）由
B，
C两点求出
BC的解析式，进而设出点
P和点
Q坐标，表示出
PQ的长，进一步得出结果；
（3）要使以点
P，
M，
B，
N为顶点的四边形是菱形，只需△
PMB是等腰三角形，所以分为
PM=
BM，
PM=
PB和
BP=
BM，结合图象，进一步得出结果．
【详解】（1）解：把点
A(1，0)，
C(0，﹣3)代入
得：
，解得：
∴抛物线解析式为
y=0，则
解得：
∴点
B的坐标为（-3，0）；
（2）解：设直线
BC的解析式为
把点
B（-3，0），
C(0，﹣3)代入得：
，解得：
∴直线
BC的解析式为
设点
，则
∴当
时，
PQ最大，最大值为
（3）解：存在，
根据题意得：
，则
如图，当
BM=
PM时，
B（-3，0），
C（0，-3），
OB=
OC=3，
∴∠
OCB=∠
OBC=45°，
延长
NP交
y轴于点
D，
∵点
P，
M，
B，
N为顶点的四边形是菱形，
PN∥
x轴，
BN∥
PM，即
DN⊥
y轴，
∴△
CDP为等腰直角三角形，
BM=
PM，
∴∠
MPB=∠
OBC=45°，
∴∠
PMO=∠
PDO=∠
MOD=90°，
∴四边形
OMPD是矩形，
OM=
PD=
t，
MP⊥
x轴，
BN⊥
x轴，
BM+
OM=
OB，
t+
t=3，解得
如图，当
PM=
PB时，作
PD⊥
y轴于
D，连接
PN，
∵点
P，
M，
B，
N为顶点的四边形是菱形，
PN⊥
BM，
NE=
PE，
BM=2
BE，
∴∠
OEP=∠
DOE=∠
ODP=90°，
∴四边形
PDOE是矩形，
OE=
PD=
t，
BE=3-
t，
t=2（3-
t），解得：
t=2，
P（-2，-1），
N（-2，1）；
如图，当
PB=
MB时，
，解得：
过点
P作
PE⊥
x轴于点
E，
PE⊥
PM，
∴∠
EON=∠
OEP=∠
EPN=90°，
∴四边形
OEPN为矩形，
PN=
OE，
PN⊥
y轴，
∵∠
OBC=45°，
∴点
N在
y轴上，
综上所述，点
N的坐标为
或（-2，1）或
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．
历年参考考研(历年参考考研数学)
