数学考研真题,2023年数学考研真题
大家好!本文和大家分享一道2010年江苏高考数学真题。这是当年江苏高考数学试卷的第一道解答题,考查的是平面向量的概念、平面向量的线性运算以及数量积等知识,题目的难度并不大,但是题目非常经典,高中学生应该掌握。
先看第一小问:求平行四边形对角线的长。本文和大家分享三种解法。
解法一:
题目中已经知道了平行四边形的三个顶点坐标,那么我们可以平行四边形对边平行的性质求出第四个顶点,再用两点间距离公式求出对角线的长。
由于该平行四边形是以线段AB、AC为邻边,如果设第四个顶点为D,那么该平行四边形为ABDC,即向量AB和向量CD平行、向量AC和向量BD平行。这儿需要注意的是,该平行四边形的对角线为AD和BC,而不是AC和BD。
根据平行向量的坐标表示,即两向量平行则他们的坐标交叉相乘差为零,先设出D的坐标,再分别表示出这四个向量,从而求出点D的坐标。最后再用两点间距离公式或者向量的模长即可求出对角线的长。
解法二:
如同解法一,先设出第四个顶点D,再设两对角线的交点为E,那么点E就是两对角线的中点。根据点B、C的坐标及中点坐标公式,求出点E的坐标。然后再由A点坐标和中点坐标公式即可快速求出点D的坐标。后面的解答过程同解法一。
解法二相比于解法一,求点D的坐标更加简单,整个过程也更加简洁。
解法三:
前面两种解法都需要先求出平行四边形的第四个顶点坐标,但是不少同学在求D的坐标是出了问题,因为所求平行四边形的对角线是AD、BC,不是AC、BD,不少人忽略了一点而出错。
下面介绍一种不需要求点D坐标的解法。根据向量加减法的概念,可以发现向量AB和向量AC的和向量与差向量的模就是所求平行四边形的对角线长,所以不需要求第四个顶点的坐标,从而简化了解题过程。
再看第二小问:求t的值。
先求出向量OC的坐标,再表示出向量AB与t倍向量OC的差向量的坐标,最后用向量数量积公式即可得到-2(3+2t)-(5+t)=0,从而解得t=-11/5。
向量数量积的计算公式就是对应坐标的积再求和。
向量在高考中的难度一般不大,对于想考高分的考生来说,这是必须拿满分的一个考点,所以平时就需要注重对经典题型的积累。这道江苏高考真题不失为一道向量的典型题目,高中生需要掌握。
数学考研参考(2023年数学考研参考)